Curvas B-SPLINE Y FRACTALES
Curvas de B-Spline
En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición. El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica. Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.
En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline
Curvas de B-SPLINE:
Consideremos una parábola parametrizada en un intervalo [u1,u2] por c(u). Usando la multiafinidad de la polar, podemos expresar c(u) como un paso del algoritmo de de Casteljau,
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y con otro paso del algoritmo de de Casteljau, pero esta vez usando nudos auxiliares u0,u3,
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con lo cual hemos expresado cualquier punto c(u) en función de tres vértices, c[u0,u1],c[u1,u2],c[u2,u 3], por ninguno de los cuales pasará en general la curva. Ejemplo
Nótese que, en el caso particular en el que u0 = u1, u3 = u2, recuperamos precisamente el algoritmo de de Casteljau original para el polígono de control {c0 = c[u1,u1], c1 = c[u1,u2], c2 = c[u2,u2]}.
Por tanto, lo que hemos hecho ha sido generalizar el algoritmo de de Casteljau, mediante la introducción de dos nudos auxiliares. Para que todos los sumandos sean positivos en la parametrización, esta estará definida en el intervalo [u1,u2]. El efecto de esta generalización es acortar la curva de Bézier que correspondería al polígono, lo que nos servirá para unirla a otros tramos de curvas polinómicas.
Resumiendo, los pasos seguidos en el algoritmo han sido:
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El polígono B-spline para la parábola estará formado por los vértices {d0: = c[u0,u1],d1: = c[u1,u2],d2: = c[u2,u3]}.
Este es el algoritmo de de Boor para una curva parabólica de un único tramo. El algoritmo se generaliza sin dificultad a curvas de cualquier grado, n, y un solo tramo. El polígono estará formado por n+1 vértices, como corresponde a una curva polinómica de grado n, {d0,...,dn}, donde di = c[ui,...,ui+n-1]. La sucesión de nudos estará formada por 2n valores del parámetro, {u0,...,u2n-1}.
Finalmente el algoritmo de de Boor consiste en la aplicación reiterada del algoritmo de de Casteljau,
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VIDEO:
Curvas
de Fractales
La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que
significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy
apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado
por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of
Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como
geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de
autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no
es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto
fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos
tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es
exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma
característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego
las partes se parecen al todo.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su
tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de
medida disminuye.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o
comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los
reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son
fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales
matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
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Algunas definiciones sencillas extraídas de
ensayos y libros acerca del tema:
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Modelos infinitos comprimidos de alguna manera
en un espacio finito
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Bellísimos y fascinantes diseños de estructura
y complejidad infinita.
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Resumen de las propiedades de los fractales:
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Dimensión no entera.
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Como se mostrará en el apartado siguiente la
dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente
irracional.
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Compleja estructura a cualquier escala.
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Los fractales muestran estructuras muy
complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
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Infinitud.
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Se consideran infinitos ya que a medida que
aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal
aumenta en longitud o perímetro.
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Auto-similitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente auto similares de manera que el
todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
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